5.4.5 Bi-implicação

O último operador que nos falta considerar é a bi-implicação. Uma proposição em que aparece uma bi-implicação é chamada bicondicional. Como o nome já sugere, é um condicional nas duas direções, correspondendo às expressões ‘... se e somente se ...’ e ‘... é equivalente a ...’. O símbolo que usamos é ↔. Portanto, N↔F formaliza a sentença ‘Neva se e somente se faz muito frio’. A razão de ‘N se e somente se F’ ser um bicondicional é que, se olharmos bem, há dois condicionais envolvidos. Isso corresponde a:

[N, se F] e [N somente se F].

Ora, ‘N somente se F’ é a mesma coisa que ‘se N, então F’. Igualmente, ‘N se somente se F’ é o mesmo que ‘se N, então F’. Portanto, ‘N se e somente se F’ equivale a

[se F, enta˜o N] e [se N, enta˜o F],

o que caracteriza uma implicação nas duas direções: uma bi-implicação.

Vamos continuar agora com nossa definição de fórmula, apresentando a outra cláusula que trata das fórmulas moleculares, as que têm operadores binários:

(F3) Se α e β são fórmulas, então (α∧β), (α∨β), (α→β), e (α↔β) são fórmulas.

Aqui, aparecem outra vez metavariáveis: ‘α’ e ‘β’ são usadas para indicar uma fórmula qualquer. Mais uma vez, α e β podem ser tanto fórmulas atômicas, quanto fórmulas moleculares; assim, se α é a fórmula A e β a fórmula (B→¬C), a conjunção de α e β, por exemplo, é (A∧(B→¬C)).

Mas é isso mesmo? Com esses parênteses todos? Bem, você deve ter notado que, no caso dos operadores binários, as fórmulas, pela definição, são escritas entre parênteses – o que não tínhamos feito até agora. Isso é o que vai garantir que não haja ambiguidades: se dois operadores binários ocorrem numa fórmula, sempre haverá parênteses para indicar qual dos dois é o principal, qual deles age sobre o outro.

Vamos falar sobre esses detalhes na próxima seção. Antes disso, contudo, eu gostaria que você fizesse alguns exercícios bem simples – ainda sem usar parênteses – para se habituar a empregar os operadores.

— Introdução à Lógica by Cezar A. Mortari (Page 104 - 105)